天津市大港一中2013届高三第二次月考数学理试题（WORD解析版）

天津市大港一中2013届高三第二次月考数学理试题（WORD解析版）

一、选择题（每题5分）

1．（5 分）（2012?福建）下列命题中，真命题是（ ）
A．?x0∈R，≤0	B．?x∈R，2x＞x2
C．a+b=0 的充要条件是=﹣1	D．a＞1，b＞1 是ab＞1 的充分条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；全称命题；特称命题；命题的真假判断与应用．

专题：计算题．

分析：利用指数函数的单调性判断A的正误；
通过特例判断，全称命题判断B的正误；
通过充要条件判断C、D的正误；
解答：解：因为y=ex＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；
因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以?x∈R，2x＞x2不成立．

a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；

a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．

故选D．

点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称命题，特称命题，命题的真假判断与应用，

考查基本知识的理解与应用．

2．（5分）已知函数f（x）=cos（ωx﹣）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx

的图象，只要将y=f（x）的图象（ ）

A．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

专题：三角函数的图像与性质．

分析：由函数的周期求得ω=2，可得函数的解析式．再根据，函数y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，得出结论．

解答：解：已知函数f（x）=cos（ωx﹣）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2． 故f（x）=cos（2x﹣），为了得到函数g（x）=cosωx=cos2x 的图象，只要将y=f（x）的图象项左 平移个单位即可．

故选A．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+?）的图象变换规律，属于中档题．

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3．（5 分）（2011?普宁市模拟）函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（ ）
A．（0，1）	B．（1，2）	C．（2，3）	D．（3，4）

考点：函数的零点与方程根的关系．

专题：计算题．

分析：函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．

解答：解：∵f（1）=ln（1+2）﹣2=ln3﹣2＜0，
而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，

∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），

故选B．

点评：本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号．

4．（5 分）当x∈（0，π）时，函数f（x）=的最小值是（ ）
A．2	B．2	C．2	D．1

考点：三角函数的化简求值；二倍角的余弦．

专题：三角函数的求值．

分析：运用倍角公式把给出的函数的分子化为正弦的形式，整理得到，然后利用换

元法把函数变为为 （t∈（0，1]）．求导后得到该函数的单调性，则函数在单调区间（0，1]

上的最小值可求．

解答：解：

=

= = 令sinx=t，∵x∈（0，π），∴t∈（0，1]．		（t∈（0，1]）
则函数化为	（t∈（0，1]）．判断知，此函数在（0，1]上是个减函数．
（也可用导数这样判断∵＜0．∴为 为减函数．）

∴ymin=2﹣1=1．

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∴当x∈（0，π）时，函数f（x）=的最小值是1．

故选D．

点评：本题考查了二倍角的余弦公式，考查了利用换元法求三角函数的最小值，训练了利用函数的导函数

判断函数的单调性，此题是中档题．

5．（5分）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（ ）

A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1

考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．

专题：计算题．

分析：求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公

共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．

解答：解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1）

令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；

∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减

∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值

∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点

∴极大值等于0或极小值等于0

∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0

∴c=﹣2或2

故选A．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等

于0．

6．（5分）（2011?潍坊模拟）若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（1﹣x）的图象大致为（ ）

A．

B．

C．

D．

考点：函数的图象与图象变化．

专题：压轴题；数形结合．

分析：先找到从函数y=f（x）到函数y=f（1﹣x）的平移变换规律是：先关于原点对称得到y=f（﹣x），再整

体向右平移1个单位；再画出对应的图象，即可求出结果．

解答：解：因为从函数y=f（x）到函数y=f（1﹣x）的平移变换规律是：先关于y轴对称得到y=f（﹣x），再

整体向右平移1个单位即可得到．

即图象变换规律是：①→②．

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故选：A．

点评：本题考查了函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题，但也是易错题．易错点在于左右平移，平移的是自变量本身，与系数无关．

7．（5分）△ABC外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m的值

（ ）

A．

B．2

C．1

D．

考点：向量的加法及其几何意义．

专题：平面向量及应用．

分析：利用向量的运算法则、数量积与垂直的关系即可得出．

解答：解：如图所示：

∵，， ∴， ∴， 取BC 边的中点D，连接OD，则OD⊥BC，∴，． 又AH⊥BC，∴． ∴+， ∴0=（m﹣1），又不恒为0，

∴必有m﹣1=0，解得m=1．
故选C．

点评：熟练掌握向量的运算法则、数量积与垂直的关系是解题的关键．

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8．（5 分）已知函数若关于x 的函数y=f2（x）﹣bf（x）+1 有8 个不同的

零点，则实数b的取值范围是（ ）

A．（2，+∞）

B．[2，+∞）

C．

D．

考点：根的存在性及根的个数判断．

专题：函数的性质及应用．

分析：方程2f2（x）+2bf（x）+1=0有8个不同实数解，即要求对应于f（x）等于某个常数k，有2个不同的k，再根据函数
对应法则，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解故先根据题意作出f（x）的简图：由图可知，
只有满足条件的k在开区间（0，4]时符合题意．再根据一元二次方程根的分布的理论可以得出答案．

解答：

解：∵函数

，作出f（x）的简图，如图

所示：
由图象可得当f（x）在（0，4]上任意取一个值时，都有四个不同的x与f（x）的值对应．

再结合题中函数y=f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，
可得关于k的方程k2﹣bk+1=0有两个不同的实数根k1、k2，且0＜k1≤4，0＜k2≤4．

∴应有

，解得 2＜b≤，

故选D．

点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．数形结合
是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合
的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，属于中档题．

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二、填空题（共六题，每题5分）

9．（5 分）（2013?奉贤区一模）已知函数若f（a）= ，则a=﹣1 或 ．

考点：函数的值；分段函数的应用．

专题：计算题．

分析：当a＞0时，log2a=；当a≤0时，2a=．由此能求出a的值．

解答：解：当a＞0时，log2a=

∴a=，

当a≤0时，2a==2﹣1，

∴a=﹣1．

∴a=﹣1或．

故答案为：﹣1或．

点评：本题考查孙数值的求法，解题时要认真审题，注意分段函数的函数值的求法．

10．（5分）已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=﹣f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2011）+f（2012）=1．

考点：奇偶性与单调性的综合；函数的值．

专题：计算题；函数的性质及应用．

分析：确定当x≥0时函数的周期，利用函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，x∈[0，2），f（x）=log2（x+1），代入计算，可得结论．

，∴f（x+4）=f（x），∴函数的周期为T=4解答：解：∵对于x≥0，都有f（x+2）=﹣f（x）
∵函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，x∈[0，2），f（x）=log2（x+1）∴f（﹣2011）+f（2012）=f（1）+f（0）=log2（1+1）+log21=1．

故答案为：1
点评：本题考查函数的奇偶性与周期性综合运用，考查转化思想，解答本题的关键是熟练掌握函数的性质及一些常用的反映函数性质的结论．

11．（5分）已知sin（+α）=，则cos（）=﹣．

考点：二倍角的余弦；诱导公式的作用．
专题：三角函数的求值．

分析：因为 cos（﹣α）=sin（	+α）= ，利用二倍角公式求得 cos（）的值．
解答：解：因为 cos（﹣α）=sin（		+α）= ，
∴cos（）=2﹣1=2× ﹣1=﹣，