高三复习法向量的妙用

高三复习法向量的妙用

金山中学高三复习:法向量的妙用

现行高中数学教科书第二册（下

B）第九章提到了法向量的定义：若是向量

a

平面α，那么向

量a叫做平面α的法向量。但是对于法向量在立体几何中的运用却没有详细介绍，其实灵便运用法向

量去求解某些常有的立几问题如“求点到平面的距离”、“求异面直线间的距离”、“求直线与平面所成的角

”、“求二面角的大小”、“证明两平面平行或垂直”等是比较简略的，现介绍以下：

A一、求点到平面的距离。

设A 是平面α 外一点，AB 是α 的一条斜线，交平面α 于点B，而n		α	B	θ		h	n
是平面α 的法向量，那么向量	BA 在n 方向上的正射影长就是点A

到平面α的距离h，

因此hBAcosBA,n

BAn

※

n

例1：已知棱长为1 的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F 分别是求点					B1C1和C1D1的中点，	E	C1	y
A1 到平面DBEF 的距离。					z
解：如图建立空间直角坐标系， DB＝（1，1，0），DF＝（0，1，1），DA1＝（1，0，1）
					F
					D1
2					A1		C
设平面DBEF 的法向量为n＝（x，y，z），则有：					B1
					D
nDB0			即	x＋y＝0
					A
n	DF0	z=1	1 y＋z＝0 2 ,取n＝（1，－1，1），则A1到平
					B
令x＝1,	y=－1,				x
2			2
n DA1
面DBEF 的距离h			1

n
注：此题A1在平面DBEF的射影难以确立，给求解增添难度，若利用（※）式求解，重点是求出平面

DBEF的法向量。法向量的求解有多种，可直接利用向量积，在平面内找两个不共线的向量，比方

DB 和DF，那么n＝DB×DF。但高中教材不曾涉及向量积，

这里依据线面垂直的判断定理，

设n

＝（x，y，z），经过建立方程组求出一组特解。

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二、求异面直线间的距离。

假设异面直线 a、b，平移直线a至a*且交b于点A，那么直线a*和b确立平面α，且直线a∥α，

设n是平面α的法向量，那么 n⊥a，n⊥b。因此异面直线 a和b的距离可以转变为求直线a

上任一点到平面α的距离，方法同例1。

例2：已知棱长为		1 的正方体ABCD－A1B1C1D1，求直线DA1 和AC 间的距离。							z	C1	y
解：如图建立空间直角坐标系，
D								1
则AC＝（－1，1，0），DA1				＝（1，0，1）			A1			B1
连接A1C1，则A1C1∥AC,设平面				A1C1D 的
法向量为n＝（x，y，z）,				D						C
A										B
x
nAC	0									3。
由				可解得n＝（1，1，－1），又AA1＝（0，0，1）
nDA1			0
因此点A 到平面A1C1D 的距离为h				AA1n		3 ，即直线DA1和AC 间的距离为
n					3					3

注：这道题若用几何推理，需连接D1B，交△DA1C1和△B1CA分别为E、F，并证明△D1DE≌△B1BE，且EF恰好等于DA1和AC的公垂线段长并且三平分线段 D1B，进而求解EF，解题过程几经转变，还需增添大批辅助线，不如用法向量求解更直接简略。

三、求直线与平面所成的角。

直线AB 与平面α 所成的角θ 可看作是向量 ABn		AB 与平面α 的法向量n 所成的锐角的余角，因此有
sincosAB,n	。

ABn

例3：已知棱长为	1 的正方体ABCD－A1B1C1D1 中，E 是A1B1 的中点，求直线			z	AE 与平面ABC1D1 所
成的角。
解：如图建立空间直角坐标系，			D1	E	C1
					B1
AB＝（0，1，0），AD1 AE＝（0，1，1）		＝（－1，0，1），	A1	D	C
2
设平面ABC1D1 的法向量为n＝（x，y，z）,			A		B	y

x

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由

n AB

0

可解得n＝（1，0，1）

nAD1	0		10。	AEn	n	10	，
设直线AE 与平面ABC1D1所成的角为θ，则sin
因此直线AE 与平面ABC1D1 所成的角为		arcsin		AE		5

5

四、求二面角的大小。

A

已知二面角α－l－β，点A 点			是二面角α－l－β 内一点，过	α	C	l	D	B
A 向α、β 引垂线，垂足分别为		C、B，则AC、AB 确立平面
ABC，延伸平面	ABC，交直线	l 于点D，依据二面角的平面角的
定义，易证∠CDB 就是二面角α－l－β 的平面角。∠CDB＝180°
－								β

∠CAB，而∠CAB可看作α、β的法向量n、n所成的角（或其补角）。

例4：已知棱长为1 的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面A1BC1 与平面ABCD

所成的二面角的大小。

解：如图建立空间直角坐标系，

A1C1＝（－1，1，0），A1B＝（0，1，－1）

设n1、n2

分别是平面A

1BC1与平面ABCD 的法向量，

D1

z

C1

由

n1 A1B

0

可解得n1＝（1，1，1）

A1

B1

n1 A1C1

0

D

C

易知n2

＝（0，0，1），

3

A

B

y

因此，cosn1,n2

n1n 2＝

x

n1

n2

3

因此平面A1BC1 与平面ABCD

所成的二面角大小为arccos3 或－arccos3。

3

3

注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同样求出来的角度自然就不同样，因此最后还应该依据这个二面角的实质形态确立其大小。

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五、证明两平面平行或垂直。

若α∥β，则n		∥n ；反之也建立。
若α⊥β，则n		⊥n ；反之也建立。
例5：已知棱长为	1 的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M 分别是A1C1、A1D 和B1A 上任一点，
求证：平面A1EF∥平面B1MC。			z

证明：如图建立空间直角坐标系，

D1

D

M

E

B1

C1

y

则A1C1＝（－1，1，0），B1C＝（－1，0，－1）

B

C

A1

A1D＝（1，0，1），B1A＝（0，－1，－1）

F

设AE

AC，AF

AD，BM

BA（、、

1

11

1

1

1

1

A

R，且均不为

0）

x

0

设n1、n2 分别是平面

A1EF 与平面B1MC 的法向量，

由n1A1E0

可得n1

A1C1

0

即n1A1C1

n1A1F0

n1

A1D0

n1A1D0

解得：n1＝（1，1，－1）

由n2B1M0	可得n2	B1A0	即n2B1A0 n2B1C0
n2B1C0	n2B1C0
解得n2＝（－1，1，－1），因此n1＝－n2，			n1∥n2	，

因此平面A1EF∥平面B1MC。

注：若是求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用

n1 ⊥n2

n1n20 来证

明。

利用法向量来解决上述五种立体几何题目，最大的长处就是不用象在进行几何推理时那样去确立

垂足的地址，完整依靠计算就可以解决问题。但是也有性，高中阶段用代数推理解立体几何题目，重点就是得建立空间直角坐标系，把向量经过坐标形式表示出来，因此能用这类方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。

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